Variationen über die Riemannsche Zetafunktion

Eines der ersten elementaren Probleme, auf die man bei der Untersuchung der Riemannschen Zetafunktion stößt, ist die analytische Fortsetzung dieser meromorphen Funktion in die gesamte komplexe Ebene, den Pol bei $z=1$ ausgenommen, denn die Formeln:

$$\zeta(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^z} = \prod_{p} \frac{1}{1-\frac{1}{p^z}}$$ (9)

gelten nur für $Re(z) > 1$.

Hier soll die Laurentreihenentwicklung der Zeta-Funktion um ihren Pol numerisch durchgeführt werden. Die Entwicklung lautet:

$$\zeta(z) = \frac{1}{z-1} + \sum_{k=0}^{\infty} \gamma_{k} (z-1)^{k}$$ (10)

Dabei sind bekanntermaßen und erstaunlicherweise die 'verallgemeinerten Eulerschen Konstanten' gegeben durch:

$$\gamma_{k} = \frac{(-1)^{k}}{k!} \lim_{N\rightarrow\infty} \left[ \left(\sum_{n=1}^{N} f_{k}(n)\right) - \frac{(\log(N))^{k+1}}{k+1} \right]$$ (11)

, wobei:

$$f_{k}(x) := \frac{ (\log(x))^{k}}{x}$$ (12)

Mittels Euler-McLaurin Summation zeigt man leicht, daßasymptotisch gilt:

$$\gamma_{k} \sim \frac{(-1)^{k}}{k!} \left[ \left( \sum_{i=1}^{M-1... ...M))^{k+1}}{k+1} - \sum_{j=1}^{J} \frac{B_{2j}}{(2j)!} f_{k}^{(2j-1)}(M) \right]$$ (13)

mit den Bernoulli-Zahlen $B_{2j}$ und den $(2j-1)$ - ten Ableitungen von $f_{k}(x)$, ausgewertet am Punkt $M$.

Für Restgliedabschätzungen bitte die Literatur konsultieren!

Grundsätzlich kann man theoretisch $\gamma_{k}$ mit obiger Formel beliebig genau berechnen, wenn man $M$ nicht zu klein wählt, und $J$ nicht zu groß. ( Für $J\rightarrow \infty$ divergiert die Reihe. )

Allerdings macht sich für grössere $k$ schnell die numerische Auslöschung der ersten drei Terme bemerkbar, so daß man immer weniger signifikante Stellen berechnet.

Der Term mit den Bernoulli-Zahlen ist nicht das Problem!

Für die Berechnung der Zetafunktion in direkter Umgebung von $z=1$ (in einer Kreisscheibe mit Radius in etwa kleiner als $3$) reicht die Formel trotzdem aus.

Falls jemand weiß, wie man die Summe der ersten $3$ Terme ohne Auslöschung berechnet, bitte Mail an mich!

Mit dem Ansatz:

$$\frac{f_{k}^{(n)}}{n!}(x) = \frac{1}{x^{n+1}}P_{n,k}(\log(x))$$ (14)

, wobei $P_{n,k}$ ein Polynom ist, ergibt sich:

$$\frac{f_{k}^{(n+1)}}{(n+1)!}(x) = \frac{1}{x^{n+2}}\left(\frac{1}{n+1}P_{n,k}'(\log(x))-P_{n,k}(\log(x))\right)$$ (15)

Damit sind die Polynome $P_{n,k}$ rekursiv definiert, mit:

$$P_{n+1,k}(y) = \frac{P_{n,k}'}{n+1}(y)-P_{n,k}(y)$$ (16)

und:

$$P_{0,k}(y) = y^k$$ (17)

Ein Python-Skript, welches die Zetafunktion in Umgebung ihres Poles berechnet, finden Sie hier: zetapow.py

Die Ausgabe des Skriptes ist z.B.: zetapow.txt

Eine vereinfachte Formel zur Berechnung der $\gamma_{k}$ wäre:

$$\gamma_{k} \sim \frac{(-1)^{k}}{k!} \left[ \left( \sum_{i=1}^{9} ... ...\sum_{j=1}^{10} \frac{B_{2j}}{2j} \frac{1}{10^{2j}} P_{2j-1,k}(\log 10) \right]$$ (18)