Cassini-Kurven

Normiert sind sie Niveaulinien der folgenden reellwertigen Funktion, definiert im Raum der komplexen Zahlen:

$$F(z) := \Vert z-1\Vert * \Vert z+1\Vert$$ (25)

Die Funktion F(z) ist also das Abstandsprodukt des beliebigen Punktes z von den Punkten -1 und 1 auf der komplexen Zahlenebene.

Sie lässt sich noch etwas umschreiben:

$$F(z) = \Vert z^2-1\Vert$$ (26)

Die Niveaulinien von F(z), die Cassini-Kurven, sind auch die folgender Funktion G:

$$G(z) := \log(\Vert z^2-1\Vert))$$ (27)

(Hier wurde einfach der reelle, natürliche Logarithmus auf die Funktion F(z) angewendet.)

Diese ist aber Realteil einer holomorphen Funktion, nämlich des komplexen Logarithmus:

$$G(Z) := Re( \log(\Vert z^2-1\Vert) + i*\phi )$$ (28)

Dabei ist $\phi$ der Winkel, definiert durch das Argument des Logarithmus, $z^2-1$. Die Orthogonaltrajektorien lassen sich leicht ermitteln, indem man den Imaginärtel obigen Logarithmus' konstant hält, also im wesentlichen:

$$Imag(z^2-1)/Real(z^2-1)=k$$ (29)

Wobei $z=x+i*y$ gesetzt wird. Dies führt auf eine Hyperbelgleichung, für die man weitere Eigenschaften zeigen kann.

Bild: Cassini-Kurven mit Orthogonaltrajektorien, entstanden mit folgendem Python-Skript: cassini.py